NONSINUSOIDAL PERIODIC FOURIER SERIES

SÉRIES DE FOURIER NON SINUSOÏDALES

Arpad Török (1) , Stoian Petrescu (2) , Michel Feidt (3)

1 UPB - Universitatea Politehnica din Bucuresti [Bucarest, Roumanie]
2 UPB - University Politehnica of Bucharest [Romania]
3 LEMTA - Laboratoire d'Energétique et Mécanique Théorique et Appliquée

According to harmonic analysis (Fourier analysis), any function f(x), periodic over the interval [−L, L], which satisfies the Dirichlet conditions, can be developed into an infinite sum (known in the literature as the trigonometric series, and for which, for reasons which will become evident in the course of this work, we will use the name of sinusoidal series), consisting of the weighted components of a complete biortogonal base, formed of the unitary function 1, of the fundamental harmonics sin(πx/L), even and cos(πx/L), odd (2L-periodic functions) and of the secondary harmonics sin(nπx/L) and cos(nπx/L) (periodic functions, with period 2L/n, where nZ + , positive integers). The coefficients of these expansions (Fourier coefficients) can be calculated using Euler formulas. We will generalize this statement and show that the function f(x) can also be developed into non-sinusoidal periodic series, formed from the sum of the weighted components of a complete, non-orthogonal base: the unit function 1, the fundamental quasi-harmonics g(x), even and h(x), odd (2L-periodic functions, with zero mean value over the definition interval) and the secondary quasi-harmonics gn(x) and hn(x) (2L/n-periodic functions), where nZ +. The fundamental quasi-harmonics g(x) and h(x) are any functions which admit expansions in sinusoidal series (satisfy Dirichlet conditions, or belong to L 2 space). The coefficients of these expansions are obtained with the help of certain algebraic relationships between the Fourier coefficients of the expansions of the functions f(x), g(x) and h(x). In addition to their obvious theoretical importance, these types of expansions can have practical importance in the approximation of functions and in the numerical and analytical resolution of certain classes of differential equations.

Selon l'analyse harmonique, toute fonction f(x), périodique sur l'intervalle [−L, L], qui satisfait les conditions de Dirichlet, peut être développée en une somme infinie (connue dans la littérature sous le nom de série trigonométrique et pour laquelle, pour des raisons qui deviendront évidentes au cours de ce travail, nous utiliserons le nom de série sinusoïdale), constituée des composantes pondérées, d'une base biortogonale complète, formée de la fonction unitaire 1, des harmoniques fondamentales, 2L-périodiques, sin(πx/L) paire et cos(πx/L) impaire et des harmoniques secondaires, 2L/n-périodiques, sin(nπx/L) et cos(nπx/L), où nZ+. Les coefficients de ces développements (coefficients de Fourier) peuvent être calculés à l'aide des formules d'Euler. Cette affirmation peut être généralisée, si nous prouvons que la fonction f(x) peut également être développée en des séries périodiques non sinusoïdales, formées de la somme infinie des composantes pondérées d'une base complète, non orthogonale: la fonction unitaire 1, les quasi-harmoniques fondamentales g(x), paire et h(x), impaire (des fonctions 2L-périodiques, avec la valeur moyenne nulle sur l'intervalle de définition) et des quasi-harmoniques secondaires gn(x) et hn(x) (fonctions 2L/n-périodiques), où nZ+. Les quasi-harmoniques fondamentales g(x) et h(x) sont n'importe quoi fonctions qui admettent des développements en série sinusoïdale (elles satisfont les conditions de Dirichlet, ou elles appartiennent à l'espace L2). Les coefficients de ces développements sont obtenus avec l'aide de certains relations algébriques entre les coefficients de Fourier des développements des fonctions f(x), g(x) et h(x). En plus de leur importance théorique évidente, ces types de développements peuvent avoir une importance pratique dans l'approximation des fonctions et dans la résolution numériques et analytiques de certains classes d'équations différentielles ordinaires et avec des dérivées partielles.

Mots clés: sinusoidal Fourier series; nonsinusoidal Fourier series; independent bases; orthogonal bases; approximation of functions; differential equations

Mots clés: séries de Fourier sinusoïdales; séries de Fourier non sinusoïdales; bases indépendants; bases orthogonales; approximation des fonctions; équations différentielle

Domaines: Thermique [physics.class-ph]; Mécanique des fluides [physics.class-ph]; Analyse fonctionnelle [math.FA]; Analyse classique [math.CA]; Analyse numérique [math.NA]

Arpad Török, Stoian Petrescu, Michel Feidt. NONSINUSOIDAL PERIODIC FOURIER SERIES. 2020. ⟨hal-02485085v2⟩