Invariants of hypermatrices
Invariants des hypermatrices
Résumé
This thesis is devoted to the theory of the invariants of hypermatrices. The origin of the theory of invariants dates from the mid-XIX th century. The general problem, such as it was stated by Cayley in 1843, consists in finding a description of the algebra of the polynomial invariants in the aim of automating the geometric reasoning. Enough quickly strong limitations due to the size of calculations appeared and found this discipline are less and less studied until in the years 1950 when the geometrical theory of the invariants was developed. Nowadays, the progress in the computer sciences allow to complete calculations which had not been able to succeed and to treat new cases. The interest of this discipline increased recently thanks to the discovery of a link with a notion of quantum mechanics which is fundamental in quantum computation: the entanglement. The notion of entanglement is due to Einstein, Podolsky and Rozen who saw in it a proof of the nonconsistency of the quantum theory known under the name of paradox EPR. Since, many experiments, like the experiment of Alain Aspect, show the existence of the entangled states. This document is composed of two parts. In the first, we expose the fundamental techniques of the theory of the invariants and the links with entanglement such as it was proposed by A. Klyachko. We show that the implementation of the Gordan algorithm allows to compute sets of fundamental invariants and covariants of certain multilinear forms. In particular, we illustrate this by giving a complete system of generators for the algebra of the covariants of a quadri-linear form (system of 4-qubits). We show also the limits of this approach: starting the computation for the quinti-linear form (system of 5-qubits), we see that the complexity of the algebras prohibits the generalization of this method. Worse, even if the description of these algebras in term of generators and relations could be obtained, this one would be humanly not usable. We propose then to consider only certain invariants having remarkable properties (for example by studying the structure of Cohen-Macaulay of these algebras). The second part is devoted to a particular invariant : the hyperdeterminant. This polynomial generalizes the determinant in the simplest possible way since it can be defined as a multi-alternated sum on the product of several symmetrical groups. After giving some general properties, we study special cases like the Hankel hyperdeterminants, or the hyperdeterminants of tensors whose entries depend only on the pgcd of indices etc.. Many results of this part are applied to the calculation of iterated integrals In particular, we give a generalization of the Heine theorem an alternative proof of the Selberf integral and generalizations of the de Bruijn integrals.
Ce mémoire est consacré à la théorie des invariants des hypermatrices.
L'origine de la théorie des invariants date du milieu du XIX ième siècle. Le problème général, tel qu'il fut énoncé par Cayley en 1843, consiste à trouver une description de l'algèbre des polynômes invariants dans le but d'automatiser le raisonnement géométrique.
Assez rapidement de fortes limitations dues à la taille des calculs se manifestèrent et cette discipline se trouva de moins en moins étudiées jusque dans les années 1950 lorsque fut développée la théorie géométrique des invariants. De nos jours, l'accroissement de la puissance de calcul permet de compléter d'anciens travaux qui n'avaient pu aboutir faute de moyen informatique ainsi que de traiter de nouveaux cas. L'intérêt de cette discipline s'est accru depuis peu grâce à la découverte d'un lien avec une notion issue de la mécanique quantique et qui est à la base de l'informatique quantique: l'intrication. Le phénomène d'intrication est apparu en 1937, sous la plume sceptique de trois physiciens, Einstein , Podolsky et Rozen qui voyaient en lui une preuve de la non consistance de la théorie quantique, et est connu depuis sous le nom de paradoxe EPR. Depuis, de nombreuses expériences, dont la célèbre expérience d'Alain Aspect, ont confirmé l'existence des états intriqués.
Ce mémoire se décompose en deux parties. Dans la première, nous exposons les techniques fondamentales de la théorie des invariants ainsi que le lien avec l'intrication tel qu'il a été proposé par A. Klyachko. Nous montrons que l'implémentation de l'algorithme de Gordan sur un système de calcul formel permet de calculer des ensembles fondamentaux d'invariants et de covariants de certaines formes multilinéaires. En particulier, nous illustrons ce type de calcul en donnant un système complet de générateurs de l'algèbre des covariants pour une forme quadrilinéaire (système de 4-qubits). Nous montrons aussi les limites de cette approche : en donnant des éléments de calcul de la forme quintilinéaire (système de 5-qubits), nous voyons que la complexités sur-exponentielle des algèbres d'invariants interdit la généralisation de cette méthode. Pire, même si la description de ces algèbres en terme de générateurs et relations pouvait être obtenue, celle-ci serait humainement inexploitable. Nous proposons alors des pistes consistant à ne considérer que certains invariants ayant des propriétés remarquables (par exemple en étudiant la structure de Cohen-Macaulay de ces algèbres). La seconde partie est consacrée à un invariant particulier, l'hyperdéterminant. Ce polynôme généralise le déterminant de la façon la plus simple possible : il s'agit d'une somme multi-alternée sur le produit de plusieurs groupes symétriques. Après avoir donné quelques propriétés générales, nous étudions certains cas particuliers comme les hyperdéterminants de Hankel, ou les hyperdéterminants de tenseurs dont les entrées ne dépendent que du pgcd des indices etc... De nombreux résultats de cette partie sont appliqués au calcul d'intégrales itérés. En particulier, nous donnons une généralisation du théorème de Heine, une preuve alternative de l'intégrale de Selberg et des généralisations des intégrales de de Bruijn.
L'origine de la théorie des invariants date du milieu du XIX ième siècle. Le problème général, tel qu'il fut énoncé par Cayley en 1843, consiste à trouver une description de l'algèbre des polynômes invariants dans le but d'automatiser le raisonnement géométrique.
Assez rapidement de fortes limitations dues à la taille des calculs se manifestèrent et cette discipline se trouva de moins en moins étudiées jusque dans les années 1950 lorsque fut développée la théorie géométrique des invariants. De nos jours, l'accroissement de la puissance de calcul permet de compléter d'anciens travaux qui n'avaient pu aboutir faute de moyen informatique ainsi que de traiter de nouveaux cas. L'intérêt de cette discipline s'est accru depuis peu grâce à la découverte d'un lien avec une notion issue de la mécanique quantique et qui est à la base de l'informatique quantique: l'intrication. Le phénomène d'intrication est apparu en 1937, sous la plume sceptique de trois physiciens, Einstein , Podolsky et Rozen qui voyaient en lui une preuve de la non consistance de la théorie quantique, et est connu depuis sous le nom de paradoxe EPR. Depuis, de nombreuses expériences, dont la célèbre expérience d'Alain Aspect, ont confirmé l'existence des états intriqués.
Ce mémoire se décompose en deux parties. Dans la première, nous exposons les techniques fondamentales de la théorie des invariants ainsi que le lien avec l'intrication tel qu'il a été proposé par A. Klyachko. Nous montrons que l'implémentation de l'algorithme de Gordan sur un système de calcul formel permet de calculer des ensembles fondamentaux d'invariants et de covariants de certaines formes multilinéaires. En particulier, nous illustrons ce type de calcul en donnant un système complet de générateurs de l'algèbre des covariants pour une forme quadrilinéaire (système de 4-qubits). Nous montrons aussi les limites de cette approche : en donnant des éléments de calcul de la forme quintilinéaire (système de 5-qubits), nous voyons que la complexités sur-exponentielle des algèbres d'invariants interdit la généralisation de cette méthode. Pire, même si la description de ces algèbres en terme de générateurs et relations pouvait être obtenue, celle-ci serait humainement inexploitable. Nous proposons alors des pistes consistant à ne considérer que certains invariants ayant des propriétés remarquables (par exemple en étudiant la structure de Cohen-Macaulay de ces algèbres). La seconde partie est consacrée à un invariant particulier, l'hyperdéterminant. Ce polynôme généralise le déterminant de la façon la plus simple possible : il s'agit d'une somme multi-alternée sur le produit de plusieurs groupes symétriques. Après avoir donné quelques propriétés générales, nous étudions certains cas particuliers comme les hyperdéterminants de Hankel, ou les hyperdéterminants de tenseurs dont les entrées ne dépendent que du pgcd des indices etc... De nombreux résultats de cette partie sont appliqués au calcul d'intégrales itérés. En particulier, nous donnons une généralisation du théorème de Heine, une preuve alternative de l'intégrale de Selberg et des généralisations des intégrales de de Bruijn.
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