A multiscale method for semi-linear elliptic equations with localized uncertainties and non-linearities

Résumé : Une méthode numérique multi-échelle est proposée pour la résolution d'équations aux dérivées partielles stochastiques elliptiques semi-linéaires avec incertitudes et non-linéarités localisées en espace, où les incertitudes sont modélisées par un ensemble de paramètres aléatoires. Elle repose sur une méthode de décomposition de domaine qui introduit des sous-domaines d'intérêt (appelés patchs) contenant les différentes sources d'incertitudes et non-linéarités. Un algorithme itératif est ensuite proposé. Il demande la résolution successive de problèmes globaux linéaires (avec opérateurs déterministes et seconds membres incertains) et de problèmes locaux non-linéaires (avec opérateurs et/ou seconds membres incertains) définis sur les patchs. Les problèmes locaux non-linéaires sont résolus à l'aide d'une méthode des moindres carrés adaptative pour la construction d'approximations polynomiales creuses des solutions locales en fonction des paramètres aléatoires. Des résultats de consistance, convergence et robustesse de l'algorithme sont obtenus sous des hypothèses générales sur l'opérateur elliptique semi-linéaire. Une technique d'accélération de convergence (relaxation dynamique d'Aitken) est également introduite pour améliorer la convergence de l'algorithme. Les performances de la méthode proposée sont illustrées à travers des expériences numériques sur un problème de diffusion-réaction non-linéaire stationnaire.
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ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis, EDP Sciences, In press, 〈10.1051/m2an/2018025〉
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Contributeur : Florent Pled <>
Soumis le : mardi 8 mai 2018 - 10:10:07
Dernière modification le : mercredi 16 mai 2018 - 12:22:18

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Anthony Nouy, Florent Pled. A multiscale method for semi-linear elliptic equations with localized uncertainties and non-linearities. ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis, EDP Sciences, In press, 〈10.1051/m2an/2018025〉. 〈hal-01507489v2〉

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