On the Teichmüller stack of homogeneous spaces of SL2(C)

Sur le champ de Teichmüller des espaces homogènes de SL2(C)

Théo Jamin (1)

1 LAREMA - Laboratoire Angevin de Recherche en Mathématiques

Let Γ be a discrete torsion-free co-compact subgroup of SL2(C). E. Ghys has shown that the Kuranishi space of M = SL2(C)/Γ is given by the germ of the representation variety Hom(Γ, SL2(C)) at the trivial morphism and gave a description of the complex structures given by representations. In this note, we prove that for all admissible representations, i.e. which allow to construct compact complex manifold by this description, the representation variety (pointed at this representation), leads to a complete family even at singular points. Hence, we will consider the admissible character stack [R(Γ)^a / SL2(C)], where R(Γ)^a stands for the open subset formed by admissible representations with SL2(C) acting by conjugation on it and show that this quotient stack is an open substack of the Teichmüller stack of M.

Soit Γ un sous-groupe discret co-compact sans-torsion de SL2(C). E. Ghys a montré que l'espace de Kuranishi de M = SL2(C)/Γ est donné par le germe analytique de la variété de représentation Hom(Γ, SL2(C)) pointée au morphisme trivial et a donné une description des structures complexes données par ces représentations. Dans cet article, nous montrons que pour toute représentation admissible, c'est-à-dire qui permet de construire une variété complexe compacte par cette description, la variété de représentation (pointée en une représentation admissible) permet de construire une famille complète même aux points singuliers. Nous considérons alors le champ de caractères admissibles [R(Γ)^a / SL2(C)], où R(Γ)^a est l'ouvert de la variété de représentation correspondant aux représentations admissibles sur lequel SL2(C) agit par conjugaison et nous montrons que c'est un sous-champ ouvert du champ de Teichmüller de M.

Domaines: Variables complexes [math.CV]; Théorie des représentations [math.RT]

Théo Jamin. On the Teichmüller stack of homogeneous spaces of SL2(C). 2021. ⟨hal-03150275⟩