L’équipe Géométrie Algébrique et Applications à la Théorie de l’Information de l’université de la Polynésie française est une équipe d’accueil accréditée depuis 2004. Il est l'unique laboratoire de mathématiques en Polynésie française. Son choix est de concentrer ses recherches en géométrie algébrique sur les corps finis, en théorie des nombres et sur les applications modernes et porteuses de ces deux domaines en théorie de l'information, notamment, en cryptographie, codes correcteurs d'erreurs et algorithmique.
Ce laboratoire contribue à améliorer des systèmes de transport et de contrôle de l’information par son implication dans des thèmes de recherche concernant les algorithmes, les codes correcteurs d’erreurs, la cryptographie. Pour cela, il développe et exploite des méthodes mathématiques portant sur la géométrie algébrique et la théorie des nombres. Elle s’inscrit dans le cadre large du processus d’acquisition et de vulgarisation des nouvelles technologies dans un contexte de développement mondial, concernant directement la Polynésie et le Pacifique, notamment pour son développement économique, social et culturel.
Principaux thèmes de recherche :
Bien que non exhaustive, la liste suivante regroupe les thèmes principaux de recherche de l'équipe GAATI :
- les aspects algorithmiques des courbes algébriques : variétés jacobiennes et calcul efficace de leur loi de groupe ; calcul effectif des courbes modulaires de petit genre ; aspects effectifs de la théorie de la multiplication complexe et applications en cryptographie.
- les fonctions booléennes de faible uniformité différentielle : fonctions APN et la conjecture APN ; construction de fonctions de faible uniformité différentielle.
- les corps de fonctions algébriques: nombre de points rationnels pour des tours optimales explicites; applications à la conception d'algorithmiques rapides pour la multiplication sur les corps finis ; construction de courbes algébriques définies sur les corps finis avec un grand nombre de points rationnels.
- la complexité bilinéaire de la multiplication dans les corps finis par interpolation sur des courbes algébriques ; construction effective d'algorithmes de multiplication.
- l'étude des polynômes à valeurs entières et questions voisines : description des propriétés algébriques de polynômes à valeurs entières et construction de « bonnes » bases ; factorielles généralisées de Bhargava; fonctions entières arithmétiques dans des corps de fonctions, théorèmes de type Gelfond ; corps de Polya, Schinzel et Newton ; groupe de Polya des corps de nombres.
- l'algèbre linéaire : fonctions de matrices et équations matricielles.
- les familles de corps, variétés, fonctions zêta et fonctions L : théorie asymptotique, corps de nombres et corps de fonctions infinis, fonctions zêta limites, valeurs spéciales et résultats de type Brauer-Siegel, répartition de zéros.
- les variétés abéliennes et courbes elliptiques : jacobiennes parmi les variétés abéliennes, nombre de points des jacobiennes sur les corps finis, calcul d’anneaux des endomorphismes de variétés abéliennes sur les corps finis en utilisant les méthodes CM.